【数模学习笔记】灰色关联分析（GRA）的原理和过程详解
=## 前言和简述
这个模型是用来解决什么问题的？
- 在很多个影响因素中，找出对目标影响最大（最关键）的因素。
- （较不常用）当有多个备选方案，每个方案又有多个评价指标时，可以用来判断哪个方案与最理想方案的趋势最接近，来选出最优方案。
为什么需要学习这个模型？它在数学建模中的地位或常用性如何？
- 对数据要求极低：即使只有4、5个数据点也能进行分析。不要求数据服从特定概率分布，适用性极强。
- 原理直观，计算简单：整个计算过程只涉及简单的加减乘除和求最值。
- **结果清晰，解释性强：**模型输出具体的数值，可以直接用来比较。
- 专为“灰色系统”设计：信息不完全、不明确的系统（尤其是经济、社会领域）。
解决评价、排序、决策类问题，最常用的：AHP、TOPSIS、GRA。
AHP偏主观，依赖专家打分。
TOPSIS和GRA偏客观，依赖原始数据。
大家经常结合使用它们，比如用AHP确定各指标的权重，再用GRA或TOPSIS进行具体方案的评价排序，主客观结合。
原理和计算步骤
计算流程图：
确定分析数列
先确定两个数列：
-
参考数列(母序列)，记作 $x_0$：代表最关心的结果，类似因变量。。
-
比较数列(子序列)，记作 $x_i (i=1, 2, ..., m)$：由影响系统行为的各个因素构成，类似自变量。
如果是综合评价类问题，参考数列一般是构建一个“虚拟最优参考列”来确定（序列的每一个值都是所有待评价对象在对应指标上的最优值）。最后的结果最接近这个虚拟参考列就是最优。
数据预处理
必须对原始数据进行无量纲化处理，使不同量纲可以比较。
数据的无量纲化与标准化的具体方法与【数模学习笔记】熵权法（EWM）的原理和过程详解中介绍的方法完全相同，此处不赘述。常用的方法包括均值化、初值化或极差归一化等。
方法选择的阐述
不同方法对最终排序影响不同。优秀论文不会仅仅说“我们对数据进行了标准化”，而会阐述原因。
比如可以类似这样写：“考虑到本问题旨在比较各方案的相对优劣，我们选用了极差归一化方法。该方法能将所有指标数据线性地映射到
[0, 1]区间，既消除了量纲影响，又最大限度地保留了原始数据在各个指标内的相对分布关系，便于后续几何形状的比较。我们注意到，不同的无量纲化方法可能导致结果的细微差异，但对于本问题的评价目标而言，极差归一化是最为直观和恰当的选择。”这样可以体现对模型细节的思考，还有稳健性，是评委希望看到的深度。
计算灰色关联系数
关联系数衡量比较数列与参考数列曲线的接近程度。
-
求差序列：计算每个比较数列 $x_i$ 在第 $k$ 个点上与参考数列 $x_0$ 的绝对差值。记为 $\Delta_i(k) = |x_0(k) - x_i(k)|$。
-
求两级最值：在所有差值中，找出全局的最大值和最小值。
- 全局最小值:$$m = \min_{i} \min_{k} \Delta_i(k)$$
- 全局最大值:$$M = \max_{i} \max_{k} \Delta_i(k)$$
-
计算关联系数：计算每个点 $k$ 的灰色关联系数 $\gamma(x_0(k), x_i(k))$：$$ \gamma(x_0(k), x_i(k)) = \frac{m + \rho M}{\Delta_i(k) + \rho M} $$ 其中$\rho$ 是分辨系数，取值范围 $(0, 1)$。
**分辨系数 $\rho$ **
$\rho$ 的作用：它用于调节关联系数之间的“对比度”。
- $\rho$ 越小，关联系数间的差异越大，分辨能力越强；
- $\rho$ 越大，关联系数间的差异越小，分辨能力越弱，但整体的稳定性更好。
在绝大多数论文中，$\rho$ 通常直接取值为 0.5，比较常规的做法。
高级技巧：对 $\rho$ 进行灵敏度分析：直接取 $\rho=0.5$ 比较主观。顶尖论文会进行灵敏度分析，来证明其结论的稳健性（结论不因 $\rho$ 的主观取值而改变）。更有说服力更专业。具体做法：
- 将 $\rho$ 从 0.1 到 0.9 以 0.1 为步长进行遍历。
- 对每一个 $\rho$ 值，都完整计算出所有比较数列的最终灰色关联度。
- 绘制一张以 $\rho$ 为横轴、灰色关联度为纵轴的折线图。图中的每一条线代表一个比较数列（或评价方案）。
- 分析这个图，如果主要因素（或最优方案）的排序在整个 $\rho$ 的取值范围内保持稳定（即对应的几条折线没有发生交叉），就可以在论文中自信的写：“为检验模型结果的稳健性，本文对分辨系数 $\rho$ 进行了灵敏度分析。如图X所示，当 $\rho$ 在 $[0.1, 0.9]$ 区间内变化时，各主要因素的关联度排序保持不变。这表明本文的结论具有高稳健性，不受分辨系数主观取值的影响。”
计算灰色关联度
将前面计算出的各个点的关联系数进行综合。
- 标准方法：直接求算术平均值最常见（简单直观，适用许多场景）。比较数列 $x_i$ 与参考数列 $x_0$ 的灰色关联度 $r_i$ 为： $$ r_i = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \gamma(x_0(k), x_i(k)) $$
高级技巧：EWM-GRA组合模型
刚刚说的标准方法，隐含假设：每个评价指标的重要性完全相同。但是，现实中，各个指标的权重往往不同。举例来说，评价供应商时，“产品质量”的权重应该高于“售后服务响应时间”。
引入熵权法会更科学客观，很加分，有关熵权法可见
【数模学习笔记】熵权法（EWM）的原理和过程详解。先用熵权法计算出第 $k$ 个指标的权重 $w_k$ 。然后使用加权平均来计算灰色关联度： $$ r_i = \sum_{k=1}^n w_k \cdot \gamma(x_0(k), x_i(k)) $$ 其中，$$ \sum_{k=1}^n w_k = 1 $$
在论文里可以类似这样写：“传统灰色关联分析模型在计算关联度时采用等权重均值，未能体现各评价指标间的差异性。为使评价结果更加客观科学，本文引入熵权法对模型进行改进。使用熵权法确定各指标的客观权重，并以此权重对各点的关联系数进行加权求和，构建了EWM-GRA组合评价模型。该模型能够充分利用数据自身的信息，减少由主观赋权的随意性，使决策更可靠。”
关联度排序与分析
最后一步，根据计算出的灰色关联度 $r_i$ 得出结论。
- 排序：将所有比较数列（或评价方案）按照其灰色关联度 $r_i$ 的大小降序。
- 分析与结论：关联度数值越大，表示对应的比较数列与参考数列的关联性越强（也可以说是对应的评价方案与最优方案越接近）。
- 用于因素分析：“根据表2的灰色关联度计算结果，影响结婚对数的主要因素排序为：女性失业数（$r_3 = 0.8924$）> 房价（$r_1 = 0.5895$）> 人均收入（$r_2 = 0.5696$）。这表明，在所分析的因素中，女性就业保障问题对年轻人结婚意愿的影响最大，其次是高昂的房价。”
- 用于综合评价：“各备选供应商的综合评价结果如表2所示，其灰色关联度排序为：供应商4 > 供应商6 > 供应商2 >...。因此，供应商4与虚拟最优供应商的关联度最高，是本次采购的最优选择。”
模型的优缺点
优点
-
对数据要求低：无需大量样本，对数据分布没有严格要求，适用性广。
-
计算简便，原理直观：模型的核心思想是比较几何形状相似度，易于解释。
-
有效处理共线性问题：传统回归分析中，多重共线性会严重影响模型结果。而GRA是逐一分析各因素与参考目标的关系，从根本上规避了这个问题。
-
结果清晰：可以直接用于因素重要性排序。
缺点
-
存在主观性：分辨系数 $ρ$ 的取值是人为设定的。所以灵敏度分析很重要，弥补这一不足。
-
对参考序列敏感：尤其在评价问题中，虚拟最优参考序列的构建方式会影响最终排序。所以必须清晰论证其构建的合理性。
-
对预处理方法敏感：如前所述，不同的无量纲化方法可能导致结果差异，这也是模型的一个潜在不确定性来源。
-
提供相对关系，而非绝对关系：GRA给出的关联度只能用于排序。例如，关联度为0.8并不意味着其影响程度是关联度为0.4的两倍。不是像回归系数那样明确的、绝对的量化意义。
我的思考与总结
GRA在数学建模中的定位
GRA的最佳应用场景：数据质量不高、样本量不足，且无法满足传统统计模型（如回归分析、方差分析）的严格假设时。
也可以作为其他复杂模型的前置步骤。例如，可以先用GRA从十几个潜在影响因素中筛选出最重要的三到四个，然后再将这几个筛选出的变量作为输入，去构建一个更复杂的预测模型（如神经网络、时间序列模型等）。更有逻辑。
拥抱组合模型
单一基础的模型很难脱颖而出。所以最好组合不同模型，取长补短。
参考资料
【大师兄数学建模】第6讲 灰色关联分析_哔哩哔哩_bilibili